前言：自用，例题简单，微分方程部分已补充题目，其他部分懒得补了。

基础概念：

邻域

• 邻域 就是以某一点为中心，向两边张开一段距离所构成的区间。

在数学表达中，点 $x_0$ 的邻域通常记作 $U(x_0, \delta)$。

• 中心： $x_0$
• 半径： $\delta > 0$
• 定义式： { $x \mid |x - x_0| < \delta$ }
• 区间表示： $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$

去心领域

去心邻域记作： $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 。

• 区间表示： $(x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ 。
• 数学表达： $0 < |x - x_0| < \delta$ （注意这里是大于0，意味着距离不能为0，即 $x \neq x_0$）。

极大值极小值

• 极大值：若函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 附近的一个邻域 $D$ 内有定义，且对于 $D$ 中除了 $x_{0}$ 以外的所有点 $x$ ，都有 $f(x)
• 极小值：若函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 附近的一个邻域 $D$ 内有定义，且对于 $D$ 中除了 $x_{0}$ 以外的所有点 $x$ ，都有 $f(x)>f(x_{0})$ ，则 $f(x_{0})$ 称为一个极小值。

常见的等价无穷小

第一组：“x”族（线性近似）

1. $\sin x \sim x$
2. $\tan x \sim x$
3. $\arcsin x \sim x$
4. $\arctan x \sim x$
5. $\ln(1+x) \sim x$
6. $e^x \- 1 \sim x$
7. 幂指推广：
   • $a^x \- 1 \sim x \ln a$
   • $\log\_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$

第二组：幂函数与根式族（伯努利推广）

源自二项式定理 $(1+x)^\mu$ 的近似。

8. $(1+x)^\mu \- 1 \sim \mu x$ (万能公式)

• $\sqrt{1+x} \- 1 \sim \frac{1}{2}x$
• $\sqrt\[3\]{1+x} \- 1 \sim \frac{1}{3}x$
• $\frac{1}{1+x} \- 1 \sim \-x$
• $\frac{1}{\sqrt{1+x}} \- 1 \sim \-\frac{1}{2}x$

第三组：高阶族（泰勒展开的进阶）

9. $1 \- \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ (频率较高)
10. $x \- \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$
11. $\tan x \- x \sim \frac{1}{3}x^3$
12. $\arcsin x \- x \sim \frac{1}{6}x^3$
13. $x \- \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$
14. $x \- \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$

曲率与曲率半径

如果曲线方程是 $y = f(x)$ ：

如果曲线方程是

曲率为:

曲率半径:

弧长公式

弧长公式：

微分中值定理

费马引理

即 可导函数的极值点，导数一定为 0。

但是

• 导数为 $0$ ，不一定是极值点。
  • 反例： $y = x^3$ ，在 $x=0$ 处，导数 $y' = 3x^2$ ，代入 $0$ 得 $0$ ，但是 $x=0$ 并不是极值点（它是拐点）。
• 极值点，导数不一定为 $0$ 。
  • 反例： $y = |x|$（绝对值函数），在 $x=0$ 处是极小值点（尖底），但是 $x=0$ 处导数不存在。

标准定义

设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件：

1. 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义。
2. 在点 $x_0$ 处可导（即 $f'(x_0)$ 存在）。
3. 在点 $x_0$ 处取得极值（极大值或极小值）。

结论：

通常我们将导数为 $0$ 的点称为驻点。费马引理告诉我们：

可导函数的极值点一定是驻点

严谨证明

假设： $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。

• 对于左极限
  • 分子： $f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0)$ ，分子 $\le 0$ 。
  • 分母： $\Delta x < 0$ 。
  • 左导数 $f'_-(x_0) \ge 0$ 。
• 对于右极限
  • $f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0)$ ，分子 $\le 0$ 。
  • 分母： $\Delta x > 0$ 。
  • 右导数 $f'_+(x_0) \le 0$。 夹逼得出结论：

题目已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 可导，这意味着 左导数必须等于右导数 。

罗尔定理

$f(x)$ 同时满足三个条件时：

• 连续性：在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
• 可导性：在开区间 $(a, b)$ 内可导。
• 端点相等： $f(a) = f(b)$ （起点和终点的高度一样）。

结论：在 $(a, b)$ 之间，至少存在一点 $\xi$ ，使得这一点的导数为 $0$：

反例：

$y = |x|$ 在 $[-1, 1]$ 上。

• 满足 $f(-1) = f(1) = 1$ 。
• 满足连续。
• 它在 $x=0$ 处不可导（尖点）。
• 结果： 全程没有导数为 $0$ 的点。

直观理解

向空中抛出一个球，在同一高度接住球，那么在空中的某一个瞬间（最高点），球瞬时速度为 $0$ 。

在函数图像上，这意味着曲线必定有一个最高点（或最低点），在那里的切线是水平的。

严谨证明

1. 因为 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，它一定能在区间上取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。
2. 分两种情况讨论：
   • 情况一： 如果 $M = m$ ，说明函数是一条水平直线（常数函数），那么导数处处为 $0$，结论显然成立。
   • 如果 $M > m$ ，因为已知 $f(a) = f(b)$ ，那么最大值 $M$ 和最小值 $m$ 中，至少有一个是不在端点的。
3. 费马引理：假设最大值取在内部某点 $\xi$。
   • $\xi$ 在区间内部 $\Rightarrow$ $\xi$ 处可导。
   • $\xi$ 是极值点。
   • 根据费马引理 $\Rightarrow$ $f'(\xi) = 0$ 。

解题技巧

如：（条件使用）证明 $\exists \xi \in (a, b)$ ，使得 $f'(\xi) + f(\xi) = 0$ 。

逆向思维，构造一个辅助函数 $F(x)$，使得 $F'(x)$ 求导后正好是你要求的那个式子（这里指 $f'(x) + f(x)$ ）。

拉格朗日中值定理

• 同罗尔定理，连续且可导。
• 曲线有两个端点 $A(a, f(a))$ 和 $B(b, f(b))$。
• 连接 $AB$ 画一条直线（叫割线或弦）。
• 定理断言： 在 $A$ 和 $B$ 之间的曲线上，至少能找到一点 $\xi$，使得点 $\xi$ 处的切线与 $AB$ 连线平行。

即

直观理解

这个定理最经典的物理比喻就是 “平均速度 vs 瞬时速度”。

开车从成都去重庆，全程 $300$ 公里，你开了 $3$ 小时。平均速度 = $\frac{300}{3} = 100$ km/h。

拉格朗日中值定理：在这一路上的某一个瞬间，你车上的速度表指针一定准确地指在 $100$ km/h 这个刻度上。

• 如果你全程都低于 $100$ ，平均速度不可能到 $100$ 。
• 如果你全程都高于 $100$，平均速度肯定超过 $100$ 。
• 所以，要想平均速度是 $100$ ，中间必然经过 $100$ 那个点。

严谨证明

辅助函数 $F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 。

（减去割线）

那么端点值为 $0$ ，罗尔定理，存在 $\xi$，使得 $F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$。

证毕。

解题技巧

1. 双中值问题

技巧：看到两个中值 $\xi, \eta$ $\to$ 找到中间点 $c$ (通常是中点，或者是题目给的某个点) $\to$ 左右两边分别列出拉格朗日公式 $\to$ 通过加减乘除把中间点 $f(c)$ 消掉。

（简化模型题目）

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b) = 0$。证明：存在 $\xi \in (a, \frac{a+b}{2})$ ， $\eta \in (\frac{a+b}{2}, b)$ ，使得

• 找切分点：题目中出现了 $\xi$ 和 $\eta$ 分别在两个子区间，分界点显然是中点 $c = \frac{a+b}{2}$。
• 左边用一次拉格朗日：在区间 $[a, c]$ 上应用定理： $$f(c) - f(a) = f'(\xi)(c - a)$$
  • 因为 $c-a = \frac{b-a}{2}$，且 $f(a)=0$，所以： $$f(c) = f'(\xi) \cdot \frac{b-a}{2} \quad \text{......(式1)}$$
• 右边用一次拉格朗日：在区间 $[c, b]$ 上应用定理： $$f(b) - f(c) = f'(\eta)(b - c)$$
  • 因为 $b-c = \frac{b-a}{2}$，且 $f(b)=0$，所以： $$-f(c) = f'(\eta) \cdot \frac{b-a}{2} \quad \text{......(式2)}$$
• 联立消元：我们要证 $f'(\xi) + f'(\eta) = 0$，观察 (式1) 和 (式2)。
  • 将两式相加：

由于 $\frac{b-a}{2} \neq 0$，所以必有：

2. 证明不等式

证明： 当 $a > b > 0$ 时，

• 设 $f(x) = \sin x$，区间为 $[b, a]$ 。
• 根据定理，存在 $\xi \in (b, a)$ ，使得： $\sin a - \sin b = f'(\xi) (a - b)$ 。
  • 因为 $f(x) = \sin x$ ，所以 $f'(\xi) = \cos \xi$ 。
  • 即： $\sin a - \sin b = \cos \xi \cdot (a - b)$
• 放缩： $\cos \xi \le 1$ 。

柯西中值定理

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导。
3. 在 $(a, b)$ 内， $g'(x) \neq 0$ （分母不能为0）。

结论：在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ (xi) ，使得：

直观理解

把柯西定理看作是在一个二维平面上的运动轨迹。

• 把 $x$ 当作时间参数 $t$。
• 一个质点在平面上运动，坐标方程是

• $t$ 从 $a$ 走到 $b$ ，质点就从点 $A(g(a), f(a))$ 移动到了点 $B(g(b), f(b))$ 。

• 左边 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{\Delta Y}{\Delta X}$ ：这是连接起点 A 和终点 B 的弦的斜率。

• 右边 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{dY/dt}{dX/dt} = \frac{dY}{dX}$ ：这是在时刻 $\xi$ 时，轨迹曲线上切线的瞬时斜率。

结论：总有一个瞬间，你运动轨迹的瞬时方向（切线）和起点终点的连线方向（弦）是平行的。

严谨证明

我们想证 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 。

移项变形：

把 $\xi$ 换成 $x$ ，把导数换回原函数，我们构造出辅助函数：

代入端点验证 $F(a)$ 和 $F(b)$ ：

• $F(a) = f(b)g(a) - f(a)g(a) - g(b)f(a) + g(a)f(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a)$
• $F(b) = f(b)g(b) - f(a)g(b) - g(b)f(b) + g(a)f(b) = -f(a)g(b) + g(a)f(b)$
• $F(a) = F(b)$

根据罗尔定理， $\exists \xi, F'(\xi) = 0$。

证毕。

0/0型洛必达法则

在求 $\frac{0}{0}$ 型极限时:

利用柯西中值定理：

当 $x \to a$ 时，夹在中间的 $\xi$ 也只能 $\to a$。这就变成了 $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ 。

这就是洛必达法则的原理。

泰勒展开

假设 $f(x)$ 能写成多项式（以 $x=0$ 为例，即麦克劳林公式）：

我们要确定系数 $a_0, a_1, a_2 \dots$ 是多少。

• 求 $a_0$ ：代入 $x=0$，得 $f(0) = a_0$ 。
• 求 $a_1$ ：两边求导 $\to f'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 \dots$，代入 $x=0$，得 $f'(0) = a_1$ 。
• 求 $a_2$ ：再求导 $\to f''(x) = 2 \cdot 1 \cdot a_2 + 3 \cdot 2 \cdot a_3 x \dots$，代入 $x=0$，得 $f''(0) = 2! a_2 \Rightarrow a_2 = \frac{f''(0)}{2!}$。
• 求 $a_3$ ：再求导 $\to f'''(0) = 3! a_3 \Rightarrow a_3 = \frac{f'''(0)}{3!}$ 。

结论： 第 $n$ 项的系数就是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。

于是得到了麦克劳林公式（在 $x=0$ 处的泰勒公式）：

求极限题目

解题技巧:“上下同阶”。分母是 $x$ 的几次方，分子就展开到几次方。

例题 $1$ ：

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^3}$

思路：

• 分母是 $3$ 次方，所以分子展开到 $3$ 次方。
• $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$
• $x \cos x \approx x(1 - \frac{x^2}{2}) = x - \frac{x^3}{2}$
• 分子 $= (x - \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{2}) = \frac{1}{3}x^3$
• 极限 $= \frac{1}{3}$ 。

例题 $2$ ：

• 分母是 $4$ 次方，所以分子展开到 $4$ 次方。
• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $\ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{3} +o(x^3)$
• 为什么只展开到 $x^3$ 项?因为相乘之后幂次大于 $x^4$ 的全部统称为 $o(x^4)$
• $\ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 - \frac{5}{12}x^4 + o(x^4)$
• $\text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{\left[ -x^2 - \frac{5}{12}x^4 + o(x^4) \right] + x^2}{x^4}$
• $= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{5}{12}x^4 + o(x^4)}{x^4}$
• $= \mathbf{-\frac{5}{12}}$

求高阶导数

例题:

$f(x) = x^2 \ln(1+x)$ 求 $x=0$ 的 $n$ 阶导数.

• $\ln(1+x)$ 的经典展开式： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + \dots$$
• 将上面的展开式乘以 $x^2$ : $$f(x) = x^3 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{3} - \dots + \mathbf{\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^{k+2}} + \dots$$
• 令 $k = n - 2$
  • $x^n$ 这一项是： $\frac{(-1)^{n-3}}{n-2} x^n$

用泰勒公式做证明题

例题 $1$ ,板子题:

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=1$， $f'(0)=0$ ， $f''(x) \le 2$ ，求证：

• 我们在 $x_0 = 0$ 处将 $f(x)$ 展开到 $n=1$ 阶：

其中 $\xi$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间（即 $0 < \xi < x$ ）。

• 将题目给出的 $f(0)=1, f'(0)=0$ 代入上式

• 利用不等式进行放缩
  • 题目已知对于区间内任意 $x$，都有 $f''(x) \le 2$。因为 $\xi$ 也在 $[0, 1]$ 区间内，所以必然满足： $\mathbf{f''(\xi) \le 2}$
  • $x \in [0, 1]$。所以 $x$ 的最大值是 1，即： $\mathbf{x^2 \le 1}$

证毕.

例题 $2$ ,选最大值点展开:

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)=0$ ， $\max_{0 \le x \le 1} f(x) = 2$ 。

证明：存在 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $f''(\xi) \le -16$ 。

• 已知条件：端点 $f(0)=0, f(1)=0$ ,区间最大值为 $2$ 。
  • 设 设 $x=c$ ($0 < c < 1$) 是那个最大值点， $f(c) = 2$ ,根据费马引理, $f'(c) = 0$ 。

• $x=0$ 时:

代入数据 ( $f(0)=0, f(c)=2, f'(c)=0$ )：

• $x=1$ 时:

代入数据 ( $f(1)=0, f(c)=2, f'(c)=0$ )：

• 现在我们有了两个 $\xi$ ： $f''(\xi_1) = -\frac{4}{c^2}$ 和 $f''(\xi_2) = -\frac{4}{(1-c)^2}$ ,我们要证明这两个里至少有一个小于等于 $-16$ 。
  • 要让 $-\frac{4}{c^2} \le -16$ ，就得 $\frac{1}{c^2} \ge 4 \Rightarrow c^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow c \le \frac{1}{2}$。
  • 要让 $-\frac{4}{(1-c)^2} \le -16$ ，就得 $(1-c)^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow 1-c \le \frac{1}{2} \Rightarrow c \ge \frac{1}{2}$。

无论 $c$ 在哪， $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 中总有一个满足条件。

所以， $\exists \xi \in \{\xi_1, \xi_2\} \subset (0,1)$ ，使得 $f''(\xi) \le -16$。

例题 $3$ ,区间估计,任意点展开:

泰勒公式 $f(x_0+\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \dots$。

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $|f(x)| \le a$， $|f''(x)| \le b$，其中 $a,b$ 都是非负常数。证明：

我们需要利用区间 $[0,1]$ 的两个端点 $0$ 和 $1$。我们在任意点 $x$ 处展开，分别去够这两个端点：

1. 向右展到 $1$ ：把 $1$ 看作 $x + (1-x)$ 。

其中 $x < \xi_1 < 1$ 。

2. 向左展到 $0$ ：把 $0$ 看作 $x + (0-x)$ 。

其中 $0 < \xi_2 < x$。

如果我们把式 ① 减去式 ② ：

移项整理，得到 $f'(x)$ 的表达式：

两边取绝对值，利用 $|A+B| \le |A|+|B|$ ：

代入题目给的界限 $|f(x)| \le a$ 和 $|f''(x)| \le b$ ：

• $|f(1)| \le a$
• $|f(0)| \le a$
• $|f''(\xi_1)| \le b$
• $|f''(\xi_2)| \le b$

现在我们需要确定 $\left[ (1-x)^2 + x^2 \right]$ 在 $x \in (0,1)$ 上的最大值。

省流: $(1-x)^2 + x^2 \le 1$ 。

证毕.

不定积分

函数 $f(x)$ 的所有原函数的全体，称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：

• $\int$ ：积分号（Integral Sign）。它其实是字母 S 的拉长.。
• $f(x)$ ：被积函数（Integrand）。就是那个求导后的结果。
• $dx$ ：积分变量。告诉你也是对谁积分（就像导数里的分母 $dx$ ）。
• $F(x)$ ：某一个原函数。
• $C$：积分常数（Arbitrary Constant）。千万别漏了,就是因为它，积分的结果才是不确定的，所以叫“不定”积分。

三角函数基本积分表:

• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
• $\int \sec x\ \tan x dx = \sec x + C$
• $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

基本性质

• 导数和积分是互逆的

• 线性性质

1. 系数可以提出来

2. 加减可以分开算

换元积分法

待补。

分部积分法

本质上就是乘法求导法则的逆运算。

或者如下：

设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数。根据乘法法则：

我们把这个等式移项，把我们要积分的那部分 $u(x)v'(x)$ 单独留在一边：

接下来，对等式两边同时求不定积分（对 $x$ 积分）：

即

为了好记，我们通常把 $v'(x)dx$ 写成 $dv$ ，把 $u'(x)dx$ 写成 $du$ ，公式就变成了简短的：

面对 $\int f(x)g(x) dx$，谁当 $u$（求导），谁当 $dv$（积分）？ 口诀：“反、对、幂、三、指”。

这个顺序是选取 $u$ 的优先级（排在前面的优先设为 $u$）：

1. 反：反三角函数 ($\arcsin x, \arctan x$)
2. 对：对数函数 ($\ln x$)
3. 幂：幂函数/多项式 ($x, x^2$)
4. 三：三角函数 ($\sin x, \cos x$)
5. 指：指数函数 ($e^x$)

基础形

例 $1$ ：

由口诀“幂 > 三”，选 $u=x$， $dv = \sin 2x dx$。

例 $2$ ：

由口诀“反 > 幂”，选 $u = \arcsin x$ ， $dv = x dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}x^2$ 。

为了去掉分母里的根号 $\sqrt{1-x^2}$ ，我们令：

将 $x$ 和 $dx$ 换进去：

遇到偶次幂 $\sin^2 t$ ，使用倍角公式降次： $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$

为了方便回代，把 $\sin 2t$ 展开：

所以积分 $J$ 的结果是：

隐形的 1

被积函数只有一个复杂的“反”或“对”函数，这时候把 $dv$ 看作 $1 \cdot dx$ 。

例：

令 $t = \sqrt{x} \Rightarrow x=t^2, dx=2tdt$ 。

原式变为 $\int \arctan t \cdot 2t dt$

循环积分

积分两次后，又回到了原来的积分形式，然后通过移项解方程求解。

例：

容易得到，前步骤省略：

对后面剩下的 $\int \cos(\ln x) \, dx$ 再做一次分部积分，直到原来的积分 $I$ 再次出现，然后通过移项解方程求出结果。

• $J = \int \cos(\ln x) \, dx$
• $u = \cos(\ln x)$
• $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
• $dv = dx$
• $v = x$

这里出现的 $\int \sin(\ln x) \, dx$ 正是我们一开始要求的原积分 $I$。

凑微分

不会。

• 这里 $x$ 是幂函数， $\frac{\cos x}{\sin^3 x}$ 是三角部分。
• 发现 $(\frac{-1}{2\sin^2 x})' = \frac{\cos x}{\sin^3 x}$。
• 所以设 $u=x$， $dv = \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx$ 。

• 关键是把 $dv$ 设为 $\frac{1}{(x+2)^2} dx$（因为它积分是 $\frac{-1}{x+2}$），剩下的全是 $u$。
• 或者分子配凑： $x^2 = (x+2-2)^2$，拆开后再积。

定积分

定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 代表的是曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a, x=b$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

定积分的本质是极限。将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 份，取每一份的高度 $f(\xi_i)$ 乘以宽度 $\Delta x_i$，然后求和取极限：

基本性质与基本公式

1. 线性性质：

2. 区间可加性：

(无论 $c$ 在不在 $a, b$ 之间，只要函数可积，公式恒成立。这常用于分段函数和去绝对值的积分)

3. 积分上下限互换：

4. 估值定理：

如果 $m \le f(x) \le M$，则：

变上限积分求导

积分后的函数再求导，会变回原来的函数。

1. 基础公式

如果 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt$ ，那么：

直观理解： 把上限 $x$ 直接丢进去替换掉 $t$，积分号扔掉。

2. 链式法则

如果上限不是 $x$ 而是 $u(x)$ （比如 $x^2$ ），或者下限也是变量 $v(x)$ ，公式如下：

例：

遇到 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \dots}{x}$ 这种题，99% 是 0/0 型洛必达法则，分子就是变限积分求导。

• $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \cos t^2 dt}{x}$
• 分子求导： $\cos(x^2)$
• 分母求导： $1$
• 结果： $\cos(0) = 1$

定积分是常数（解积分方程）

核心思想：定积分 $\int_a^b f(x) dx$ （ $a,b$ 是常数）算出来是一个具体的数字，而不是函数。

例：

设 $f(x) = x^2 - x \int_0^2 f(x) dx + 2 \int_0^1 f(x) dx$ 。

• 设常数：观察到 $\int_0^2 f(x) dx$ 和 $\int_0^1 f(x) dx$ 都是常数。
  • 设 $A = \int_0^2 f(x) dx$，设 $B = \int_0^1 f(x) dx$ 。
• 回代：原方程变为 $f(x) = x^2 - Ax + 2B$ 。
• 自洽计算：把这个 $f(x)$ 的表达式再代回积分里去算 $A$ 和 $B$ 。
• $A = \int_0^2 (x^2 - Ax + 2B) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{A}{2}x^2 + 2Bx]_0^2 = \frac{8}{3} - 2A + 4B$
• 同理算出 $B$ 的方程。联立方程组：解出 $A$ 和 $B$，最后写出 $f(x)$。

分段函数与绝对值（牛顿-莱布尼茨公式的应用）

例：

• 先化简： $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
• 在 $[0,2]$ 区间上， $x-2$ 恒为负，所以 $|x-2| = 2-x$
• 对于 $|1-x|$，以 $1$ 为界拆分：
  • $0 \le x \le 1$ 时，是 $(1-x)$
  • $1 < x \le 2$ 时，是 $(x-1)$
• 拆积分： $\int_0^1 (1-x)(2-x) dx + \int_1^2 (x-1)(2-x) dx$

变限积分函数

例：

$\Phi(x) = \int_0^x f(t) dt$ ,分段函数 $f(t)$ ：在 $[0,1]$ 是 $t^2$ ，在 $[1,2]$ 是 $t$ ，求 $\Phi(x)$ 。

• 情况 1： $0 \le x \le 1$ ， $\Phi(x) = \int_0^x t^2 dt = \frac{1}{3}x^3$ 。

• 情况 2： $1 < x \le 2$

  • 积分是从 0 积到 $x$，必须要把前面那一段满的加上！
  • $\Phi(x) = \int_0^1 t^2 dt + \int_1^x t dt$
  • $\Phi(x) = \frac{1}{3} + [\frac{1}{2}t^2]_1^x = \frac{1}{3} + (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2})$

定积分的换元积分法

当自变量从 $x$ 变成 $t$ 时，积分的上下限必须从 $x$ 的范围变成 $t$ 的范围。

计算出 $t$ 的定积分数值后直接就是答案，无需再把 $t$ 换回 $x$ 去算。

根式代换（去根号）

• 特征：被积函数含有难处理的根号。
• 方法：直接令 $t = \sqrt{\dots}$，反解出 $x$，算出 $dx$。
  • 例题 $\int_0^4 \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ ：令 $t=\sqrt{x}$。
  • 换限：当 $x=0 \to t=0$；当 $x=4 \to t=2$ 。
  • 新积分为 $\int_0^2 \frac{2t}{1+t} dt$ ，算出结果即可。

三角代换（处理平方差/和）

• 特征：出现 $\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}$。
• 方法：令 $x = a\sin t, a\tan t, a\sec t$ 。
• 注意：定积分中三角代换一定要注意 $t$ 的取值范围，保证单调性。
  • 例题 $\int_0^a \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}} dx$：令 $x=a\tan t$ 。
  • 换限： $x: 0 \to a$ 变为 $t: 0 \to \frac{\pi}{4}$ 。
  • 直接计算 $t$ 的积分。

利用奇偶性与对称性

• 特征：积分区间对称（如 $[-a, a]$ 或 $[-\pi, \pi]$ ）。
• 方法：若 $f(x)$ 是奇函数：积分直接为 0 。若 $f(x)$ 是偶函数：积分为 $2 \int_0^a f(x) dx$ 。
  • 例题 $\int_{-1}^1 x^n \sqrt{1-x^2} dx$
  • 如果 $n$ 是奇数，被积函数是奇函数，答案直接写 0。
  • 如果 $n$ 是偶数，变为 $2 \int_0^1$ 计算。

区间变换公式（King’s Property / 华里斯公式前置）

• 特征：三角函数的特殊积分，或者证明题。
• 方法：令 $t = \frac{\pi}{2} - x$ 或 $t = \pi - x$。
• 经典结论： $\int_0^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx$

定积分的分部积分法

证明已经在“不定积分的分部积分法”提及，不再赘述。

标准“反对幂三指”计算

• 例题： $\int \frac{x}{\sin^2 x} dx = \int x \csc^2 x dx$

• $u=x, dv=\csc^2 x dx \Rightarrow v=-\cot x$

• 例题： $\int_1^e \ln^3 x dx$

• $u=\ln^3 x, dv=dx$

递推公式

• 特征： $\sin^n x$ 或 $\cos^n x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的积分。

• 若 $n$ 为偶数： $\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

• 若 $n$ 为奇数： $\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1$

• 例题： $\int_0^\pi \cos^n x dx$

• 要注意区间是 $[0, \pi]$。如果是奇次方，正负抵消为0；如果是偶次方，等于 $2$ 倍的 $[0, \frac{\pi}{2}]$。

反常积分

普通的定积分（比如 $\\int\_0^1 x^2 dx$），积分区间是有限的。

反常积分主要有两种情况：

1. 无穷区间：积分区间有一头是无穷大（比如 $1$ 到 $+\\infty$）。
2. 坑太深（无界函数）：函数在某一点爆炸了（趋向于无穷大，比如 $\\frac{1}{x}$ 在 $0$ 点）。

P-积分

口诀：“大 1 收，小 1 散”
看分母 $x$ 的次数 $p$：

1. 针对“无穷区间” ($\\int\_1^{+\\infty}$)

• 如果 $p \> 1$（比如 $\\frac{1}{x^2}$），尾巴够细，收敛。
• 如果 $p \\le 1$（比如 $\\frac{1}{x}, \\frac{1}{\\sqrt{x}}$），尾巴太粗，发散。

2. 针对“无界瑕点” ($\\int\_0^1$)

口诀：“小 1 收，大 1 散” （跟上面正好反过来）
看分母 $x$ 的次数 $p$：

• 如果 $p \< 1$（比如 $\\frac{1}{\\sqrt{x}}$），坑口够窄，收敛。
• 如果 $p \\ge 1$（比如 $\\frac{1}{x}, \\frac{1}{x^2}$），坑口太宽，发散。

例题：

(A) $\\int\_1^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{1+2x}} dx$

• 分析：这是无穷区间。
• 看次数：分母是根号 $x$，也就是 $x$ 的 $0.5$ 次方 ($p=0.5$)。
• 判定：根据“无穷区间，小 1 散”，$0.5 \< 1$，尾巴太粗了。
• 结果：发散。

(B) $\\int\_0^{+\\infty} x e^{-x} dx$

• 分析：这是无穷区间。
• 看谁厉害：这里有两个量在打架，$x$ 想要变大（去无穷），$e^{-x}$ 想要变小（去0）。
• 数学常识：指数函数 $e^{-x}$ 的衰减速度远远快于 $x$ 的增长速度。你可以理解为 $e^{-x}$ 瞬间就把 $x$ 压扁了，压得非常非常细。
• 结果：收敛。（实际上算出结果是 1）。

(C) $\\int\_{-1}^1 \\frac{1}{x^3} dx$

• 分析：积分区间看起来很正常，但是！分母不能为 0，而 $0$ 刚好在 $\[-1, 1\]$ 中间。所以这是一个坑太深的问题。
• 看次数：分母是 $x^3$，次数 $p=3$。
• 判定：根据“无界瑕点，大 1 散”，$3 \> 1$，坑口太宽填不满。
• 结果：发散。

(D) $\\int\_0^1 \\frac{1}{x(1+x)} dx$

• 分析：分母在 $x=0$ 处也是 0，这也是一个坑太深的问题。
• 简化：当 $x$ 趋近于 0 时，$1+x$ 约等于 1，所以整个式子 $\\frac{1}{x(1+x)}$ 就约等于 $\\frac{1}{x}$。
• 看次数：次数 $p=1$。
• 判定：根据“无界瑕点，大 1 散”（包含等于1），所以发散。
• 结果：发散。

微分方程

微分方程的基本概念

• 微分方程：含有未知函数及其导数（ $y', y'', \dots$ ）的方程。
• 解：把函数代入方程，能使方程两边恒等的，就是这个方程的解。
  • 通解：含有任意常数（ $C$ ），且常数个数等于方程阶数的解。
  • 特解：不含任意常数（通常由初始条件确定）的解。

验证微分方程的解

题目给你一个函数（通常是隐函数形式 $F(x,y)=0$ ），问它是不是某方程的解。

方法：隐函数求导。

例题：

• 已知通解： $x^2 - xy + y^2 = C$
• 求证方程： $(x-2y)y' = 2x - y$
  • 对 $x^2 - xy + y^2 = C$ 两边同时对 $x$ 求导：

• 整理方程，把含 $y'$ 的项归一边：

如何建立微分方程

微分方程的阶数（最高阶导数的次数） = 通解中独立任意常数的个数。

• 有 1 个 $C$，就要微分 1 次，得到一阶方程。
• 有 2 个 $C$（如 $C_1, C_2$），就要微分 2 次，得到二阶方程。

例题 1 ：

• 已知： $(x+C)^2 + y^2 = 1$
  • 求导： $2(x+C) + 2yy' = 0 \Rightarrow x+C = -yy'$ 。
  • 消去 $C$ ：把求出来的 $x+C$ 直接代回原方程。

• 整理： $y^2 (y')^2 + y^2 = 1$ 。这就是所求的微分方程。

例题 2 ：

• 已知： $y = C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x$
  • 求一阶导： $y' = 2C_1 \cos 2x - 2C_2 \sin 2x$
  • 求二阶导： $y'' = -4C_1 \sin 2x - 4C_2 \cos 2x$
  • 提取 $-4$，发现括号里正是原函数 $y$ 。

• 结果： $y'' + 4y = 0$。

几何应用

根据题目描述列出等式，其中必须包含 $y'$。

例题 1 ：

• 切线的斜率等于该点横坐标的平方。
  • $y' = x^2$

例题 2：

• 法线与 $x$ 轴的交点 $Q$，线段 $PQ$ 被 $y$ 轴平分。
  • 写出点 $P(x,y)$ 处的法线方程： $Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$ 。
  • 求点 $Q$（令 $Y=0$ ） ： $-y = -\frac{1}{y'}(X_Q - x) \Rightarrow X_Q = x + yy'$ 。所以 $Q(x+yy', 0)$ 。
  • 利用“ $PQ$ 被 $y$ 轴平分”，说明中点的横坐标是 0

• $2x + yy' = 0$。

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变量可分离微分方程

• 变量可分离：微分方程里通常混杂着 $x$（自变量）和 $y$（函数）以及 $y'$（导数）。
• 可分离”，就是可以通过一系列操作，把方程彻底拆成两边：
  • 等号左边： 全是 $y$ 和 $dy$（没有 $x$）
  • 等号右边： 全是 $x$ 和 $dx$（没有 $y$）

即：

然后等式两边挂上积分即可解出。

例题：

1. 例题：直接分离

• 移项分类

• 挂上积分

• 公式得到

2. 例题：换元化简

• 设： $u = x+y$
• 求导： 两边对 $x$ 求导 $\Rightarrow u' = 1 + y'$ ，所以 $y' = u' - 1$ 。
• 代回原方程：

• 分离：

• 回代

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一阶线性微分方程组

标准形式：

• 一阶 ($y'$)：只有一阶导数，没有 $y''$。

• 线性 ( $y$)： $y$ 和 $y'$ 都是一次方。

• 系数： $y$ 前面的系数 $P(x)$ 和等号右边的 $Q(x)$ 只能是 $x$ 的函数（或者是常数）。

公式：

公式证明：常数变易法

事实上 常数变易法 比套公式常用的多。

1. 先解“齐次方程”

忽略等号右边的 $Q(x)$ ，把方程看作是一个齐次方程：

• 分离变量：

• 两边积分：

• 两边取指数 $e$，得到：

2. 常数变易法

把上面的常数 $C$ 变成关于 $x$ 的函数 $C(x)$ 。

设 $y = C(x)e^{-\int P(x)dx}$ 。

• 求导 $y'$：

容易发现：

• 将 $y$ 和 $y'$ 代入原始方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 得到：

3. 求出 $C(x)$

• 反解出 $C'(x)$ ：

• 积分求 $C(x)$：

• 得到最终通解：把算出来的 $C(x)$ 代回到第二阶段第1步设的式子 $y = C(x)e^{-\int P(x)dx}$ 中：

简单例题

• 找 P 和 Q

• 算 $e^{\int P(x)dx}$

• 把 $Q(x)$ 和刚才算出的 $\frac{1}{x}$ 乘起来积分：

• 最终结果

贝努利方程（Bernoulli Equation）

• 形式： $y' + P(x)y = Q(x)y^n$
  • 两边同除以 $y^n$ ：变成 $y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)$。
  • 换元：令 $z = y^{1-n}$ ，那么方程瞬间变回“一阶线性方程”。

例题：

• 除以 $y^6$ ： $y^{-6}y' + \frac{1}{x}y^{-5} = x^2$ 。
• 换元：令 $z = y^{1-6} = y^{-5}$。
  • 求导： $z' = -5y^{-6}y'$ $\Rightarrow$ $y^{-6}y' = -\frac{1}{5}z'$。
• 代入： $-\frac{1}{5}z' + \frac{1}{x}z = x^2$。整理成标准型： $z' - \frac{5}{x}z = -5x^2$。
• 按线性方程解出 $z$ ，最后把 $y^{-5}$ 换回来。

变上限积分方程变式

把含有积分的方程两边同时求导，把它转化为我们熟悉的一阶线性微分方程，同时利用原方程求出初始条件。

例题：

• 先令 $x=0$ 代入原方程，求出 $\phi(0)$ 的值。这是确定常数 $C$ 的关键。

• 两边求导，化为微分方程
  • 左边第一项

• 左边第二项

• 右边：

• 最终得到：

• 求解一阶线性微分方程
  • 化解为标准形式

• $P(x) = \tan x$
• $Q(x) = \sec x$
• $e^{\int P(x)dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$
• $$\phi(x) = \frac{1}{\sec x} \left[ \int \sec x \cdot \sec x \, dx + C \right]$$
• $$\phi(x) = \cos x \left[ \int \sec^2 x \, dx + C \right]$$
• $$\phi(x) = \cos x (\tan x + C)$$
• $$\phi(x) = \sin x + C\cos x$$

最终答案：

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可降阶的高阶微分方程

“高阶”，就是方程里出现了 $y''$ （二阶导）甚至更高阶的导数。

所谓的“降阶”，就是通过换元法，把二阶方程变成我们熟悉的一阶方程（ $y'$ ）来解。

缺 $y$ 型

形式：

解法：令 $y' = p$，则 $y'' = p'$

例题：

• 换元： 令 $y' = p$ ，那么 $y'' = p'$ （即 $\frac{dp}{dx}$ ）。
• 代入：

• 积分： $\ln |p| = \ln(x^2+1) + C_1 \Rightarrow p = C_1(x^2+1)$。
• 还原再积：

缺 $x$ 型

形式：

解法：令 $y' = p$ ，但注意 $y'' = p \cdot \frac{dp}{dy}$

(因为没有 $x$ ，所以导数要通过链式法则转成对 $y$ 的导数)

例题：

• 换元： 令 $y' = p$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$。
• 代入：

• 分离变量积分：

• 开方还原： 求出 $p$ （即 $\frac{dy}{dx}$ ），然后再次分离变量积分求出 $y$ 。

直接积分

特征： 方程右边只有 $x$。

形式：

例题：

• 积第一次： $y' = \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$
• 积第二次： $y = \int (\frac{1}{2}x^2 + C_1) \, dx = \frac{1}{6}x^3 + C_1 x + C_2$

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小结

第一板块：极限与连续 (复习要点 1-4 )

• 核心题型：
  1. 求极限： 洛必达法则（上下求导）、等价无穷小替换（ $\\sin x \\sim x, e^x-1 \\sim x$ 等，注意只能在乘除因子中换）、泰勒公式展开。
  2. 无穷小阶的比较： 谁趋近于 0 更快（高阶、低阶、同阶）。
  3. 间断点判定： 第一类（跳跃、可去）vs 第二类（无穷、振荡）。算出 $x \\to x\_0^+$ 和 $x \\to x\_0^-$ 的极限即可判断。

第二板块：一元函数微分学 (复习要点 5-8 )

• 核心题型：
  1. 求导数：
     • 隐函数求导： $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数， $y'$ 别漏写。
     • 参数方程求导： $\\frac{dy}{dx} \= \\frac{dy/dt}{dx/dt}$，二阶导 $\\frac{d^2y}{dx^2}$ 不要直接平方，要用 $\\frac{d(y')}{dt} / \\frac{dx}{dt}$ 。
  2. 导数应用（画图/极值）：
     • 一阶导 $y' \> 0$ $\\to$ 单调增。
     • 二阶导 $y'' \> 0$ $\\to$ 凹（开口向上）； $y''=0$ 可能是拐点。
  3. 中值定理（证明题）： 罗尔定理（端点相等找导数为 0 ）、拉格朗日中值定理（连接端点的割线斜率）。

第三板块：一元函数积分学 (复习要点 9-12 )

• 核心题型：
  1. 不定积分计算：
     • 分部积分法： $\\int u dv \= uv \- \\int v du$ 。“反对幂三指”。
     • 有理函数积分：分母因式分解，拆成 $\\frac{A}{x} \+ \\frac{B}{x+1}$ 的形式。
  2. 变限积分求导： $\\frac{d}{dx}\\int\_a^{g(x)} f(t)dt \= f(g(x)) \\cdot g'(x)$。
  3. 定积分几何应用： 围成的面积（上下相减积分）、旋转体体积（ $\\pi \\int f^2(x) dx$ ）。

第四板块：常微分方程 (复习要点 13 )